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By Jan Draisma

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Syzygies and Homotopy Theory - download pdf or read online

Crucial invariant of a topological area is its basic workforce. whilst this is often trivial, the ensuing homotopy idea is easily researched and everyday. within the common case, although, homotopy conception over nontrivial primary teams is way extra complex and much much less good understood. Syzygies and Homotopy concept explores the matter of nonsimply hooked up homotopy within the first nontrivial situations and provides, for the 1st time, a scientific rehabilitation of Hilbert's approach to syzygies within the context of non-simply attached homotopy conception.

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Example text

Die Algebra O(G)∗ enth¨alt also sowohl die Lie-Algebra von G als G selbst. 54. Der Homomorphismus φ definiert eine nat¨ urliche Abbildung ¯ = α ◦ φ∗ φ¯ : O(G)∗ → O(H)∗ , φα Nach Definition des Differentials stimmt φ¯ auf L(G) = Te G mit de φ u ¨berein. Wir zeigen, dass φ¯ ein Algebrahomomorphismus ist. Dazu benutzen wir, dass µ∗G ◦ φ∗ = (φ∗ ⊗ φ∗ ) ◦ µ∗H , weil φ ein Homomorphismus algebraischer Gruppen ist. Es gilt: ¯ · β) = (α ⊗ β) ◦ µ∗ ◦ φ∗ φ(α G = (α ⊗ β) ◦ (φ∗ ⊗ φ∗ ) ◦ µ∗H ¯ ⊗ φβ) ¯ ◦ µ∗ = (φα H ¯ · φβ, ¯ = φα wie behauptet.

H. eine Multiplikation µ : G → G oder, dual, einen Homomorphismus µ∗ : KA → KA ⊗ KA, und ein Einselement e ∈ G, oder, dual, einen Homomorphismus KA → K. F¨ ur das Einselement w¨ ahlen wir e( βa a) = βa , a∈A a∈A und f¨ ur den Homomorphismus KA → KA ⊗ KA w¨ahlen wir die K-lineare Abbildung festgelegt durch durch µ∗ : a → a ⊗ a f¨ ur a ∈ A. Beide Wahlen sind inspiriert von der Anforderung, dass A aus Charakteren von G bestehen soll. Jetzt muss man zeigen, dass die so definierte Multiplikation µ : G × G → G und das Einselement die Gruppenaxiomen erf¨ ullen (Aufgabe).

Sei deshalb n > 0 und nehme an, jede unipotente Untergruppe eines GLn mit n < n sei konjugiert zu einer Untergruppe von Un . Sei G eine unipotente Untergruppe von GLn . Wenn es einen G-stabilen Unterraum V von K n gibt mit 0 V K n , dann kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden auf das Bild von G in GL(V ) und auf das Bild von G in GL(K n /V ): es gibt Basen v1 , . . , vk von V und v¯k+1 , . . , v¯n von K n /V bez¨ uglich denen die Bilder von G aus Oberdreiecksmatrizen bestehen. Hebe die zweite Basis hoch auf eine Basis eines Komplementes von V , und wir haben G auf Oberdreiecksform gebracht.

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Algebraische Gruppen by Jan Draisma


by Thomas
4.5

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