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By Chambert-Loir A.

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Crucial invariant of a topological area is its basic workforce. while this can be trivial, the ensuing homotopy idea is definitely researched and known. within the common case, notwithstanding, homotopy thought over nontrivial primary teams is far extra troublesome and much much less good understood. Syzygies and Homotopy concept explores the matter of nonsimply hooked up homotopy within the first nontrivial circumstances and offers, for the 1st time, a scientific rehabilitation of Hilbert's approach to syzygies within the context of non-simply attached homotopy conception.

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Example text

L’assertion est vraie pour k > n. Supposons la vraie pour k + 1. Alors, 0 = fg = (a0 + a1 X + + ak Xk )g dont le coefficient a priori dominant est donne´ par ak bm . Par suite ak bm = 0 et ak g est un polynoˆme de degre´ Ä m 1 tel que f (ak g) = 0. L’hypothe`se de minimalite´ sur deg g implique que ak g = 0. Une fois ceci prouve´, tous les produits ak b` sont nuls. Par suite, on a b` f = 0. Comme g 6= 0, l’un des b` est non nul et il existe bien a 2 A n f0g tel que af = 0. La re´ciproque est e´vidente.

Commencer par construire la bijection re´ciproque. Si J est un ide´al de A, montrons d’abord que cl(J) est un ide´al de A. On a bien 0 = cl(0) 2 cl(J). D’autre part, si x et y appartiennent a` cl(J), soit a et b des e´le´ments de J tels que x = cl(a) et y = cl(b). Alors, x+y = cl(a)+cl(b) = cl(a+b) ; comme J est un ide´al de A, a + b appartient a` J et x + y appartient bien a` cl(J). Enfin, soit x un e´le´ment de cl(J) et y un e´le´ment de A=I. Choisissons encore a 2 J et b 2 A tels que x = cl(a) et y = cl(b).

Ide´aux premiers, ide´aux maximaux La notion d’ide´al premier ge´ne´ralise celle de nombre premier. En effet, par de´finition d’un nombre premier, si un produit d’entiers ab est multiple de p, a ou b est multiple de p. 1. — Soit A un anneau et soit I un ide´al de A. On dit que I est un ide´al premier s’il ve´rifie les proprie´te´s : – I 6= A ; – si a et b sont deux e´le´ments de A tels que ab 2 I, alors ou bien a 2 I, ou bien b 2 I. La condition I 6= A est analogue a` la convention qui dit que 1 n’est pas un nombre premier.

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by Jason
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