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By Universität Kaiserslautern, Winfried G. Eschmann, Arndt Blickensdörfer-Ehlers, Klaus Schelkes

ISBN-10: 3540111425

ISBN-13: 9783540111429

ISBN-10: 3642966713

ISBN-13: 9783642966712

Forty seven n l1; Ilvll . Ilwll fUr alle v, wE lR sondere den Paragraphen four (ab Seite 34) inten siv studieren und sich stets den Fall n=3 ver Ziel 6 oder im Koordinatenschreibweise: 1 1 anschaulichen. Sie sollten wissen, used to be ein Nor Ziel 7 n n 2"2 n 2"2 (l: v.) ([w.) I r. v. w. I " malenvektor zu einer (Hyper-)Ebene ist (Defini i=1 1. 1. i=1 1. i=1 1. tion (16.27), Seite 35), wie alle Normalenvek toren "aussehen" (Satz (16.30), Seite 36), und Ziel three Die Ungleichung von Cauchy und Schwarz sollten wie guy den Abstand d eines Punktes p von einer Sie eben so intestine kennen wie die Dreiecksunglei (Hyper-)Ebene E berechnet ((16.35), Seite 37). chung (16.13), Seite 31: 1st E in Hessescher Normalform gegeben, additionally Ilu]vll; llull + Ilvll fUr alle u, v E lRn. n E={xElR I =c} mit II a II = 1, Als spezieller Winkel zwischen Vektoren ist der so gilt rechte Winkel ausfUhrlich untersucht worden d= Ic-1 . (ab Seite 32). Die Definition (16.15), Seite 32, Die auf den Seiten 38 bis forty-one ausfUhrlich be Ziel four der OrthogonalitHt mUssen Sie kennen. schriebene Methode der kleinsten Quadrate wer Ziel five Sie sollten wissen, was once guy unter einer Ortho den Sie im Laufe Ihres Studiums sicher noch gonal- oder Orthonormalbasis eines Unterraumes hHufig auf konkrete MeBreihen anwenden mUssen."

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50) SATZ, - Sei U ein Unterraum des E n , der von einem linear unabhängigen k-Tupel (x(l), ... ,xk » von Vektoren des E n aufgespannt wird. Dann gilt (1) Ist (y(l) , ... ,y(~» ein linear unabhängiges von Vektoren aus U, so ist ~:;; k. (2) Für jedes linear unabhängige ~-Tupel von Vektoren des E n , das U aufspannt, gilt g, = k. ~-Tupel Basis Dimension Die Anzahl der Vektoren einer beliebigen Basis von U, die Dimension von U, ist also das gesuchte Maß für die "Größe" von U. wnal. on zu rechtfertigen, betrachten wir einige Beispiele.

0 1 n l. " "- 1, n r: Eine Ausgleichsparabel zu 5 Messungen (t 1 ,a 1 ),···,(t s ,a S )· UMFORMULIERUNG DES PROBLEMS,- Sie sollen nun sehen, inwiefern die bereitgestellten Begriffe Hyperebene, Lot usw. zur Lösung dieses Problems beitragen. Wir betrachten im ~N die Vektoren p := (a 1 ,··· ,aN) b(O) Was heißt in diesem Zusammenhang "optimal"? •. ,tN). B. (0) 2 A(t) = AO + A1t+ A2t , so wird sich im allgemeinen nicht erreichen lassen, daß der Graph von A durch alle Meßpunkte (ti ,ai)' i=1, ... ,N, geht zumindest dann nicht, wenn N groß im Vergleich zur Zahl der Parameter, hier also zu 3 (A O ,A 1 ,A 2 sind die Parameter) ist.

4)) ist. 10) DIE UNGLEICHUNG VON CAUCHY UND SCHWARZ (*) ,- Icl = l1 ~ Ilall·llxll • Für alle v,WElRn gilt CauchySchwarzsehe ungleichung I I ~ 11 v 11 • 11 w 11 (*) Augustin Louis Cauchy (1789-1875) ist einer der Begründer der modernen Analysis. Hermann Amandus Schwarz lebte von 1843 bis 1921. J. Bunjakowski (1804-1889) benannt. ( 16 • 11 ) § 2 Die Länge von Vektoren 31 Ist f nicht die Nullfunktion, so ist a daher 11 a 11 > O. Also folgt für xE Nc *0 und Ilxll~i~ Alle Vektoren in Nc haben also eine Länge grösser oder gleich Abstand Ebene - Koordinatenursprung 11hl a 11 Im Fall n=3 hat dies eine anschauliche Deutung: Die Ebene N im lR 3 ist die Darstellung einer c Ebene im Anschauungsraum, Ilxll gibt den Abstand eines Punktes dieser Ebene vom Koordinatenursprung wieder.

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by Michael
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