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By Riaz A Usmani

ISBN-10: 0585158231

ISBN-13: 9780585158235

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Wk und Wi ∩ ∑ W j = {0} f¨ur alle i ∈ {1, . . , k}. j=1 j̸=i v) V = W1 + . . +Wk und Wi ∩ (Wi+1 + . . +Wk ) = {0} f¨ur alle i ∈ {1, . . , k − 1}. Zeigen Sie anhand von Gegenbeispielen, dass die obigen Bedingungen f¨ur k > 2 im Allgemeinen nicht a¨ quivalent sind zu W1 ∩ . . ∩ Wk = {0} bzw. Wi ∩ W j = {0} f¨ur alle i ̸= j. 2. Sind V und W Vektorr¨aume, so gilt V ×W = (V × {0}) ⊕ ({0} ×W ) . 6 Summen von Vektorr¨aumen∗ 25 3. Eine Matrix A ∈ M(n × n; K) heißt symmetrisch, falls A = tA. a) Zeigen Sie, dass die symmetrischen Matrizen einen Untervektorraum Sym(n; K) von M(n × n; K) bilden.

Des Gauß-Algorithmus verglichen werden. a) Bestimmen Sie die Anzahl der Additionen und Multiplikationen, die n¨otig sind, wenn man die Determinante von A = (ai j ) ∈ M(n × n; R) i) mit der Leibniz-Formel, ii) durch Umformung der Matrix in Zeilenstufenform mit dem Gauß-Algorithmus und Aufmultiplizieren der Diagonalelemente berechnet. 2 Mikrosekunden durchf¨uhren kann. Sch¨atzen Sie ab, f¨ur welche Gr¨oße von Matrizen man mit den Verfahren i) bzw. ii) in einer vorgegebenen Rechenzeit von h¨ochstens 48 Stunden auf diesem Computer Determinanten berechnen kann.

Im Fall eines in Linearfaktoren zerfallenden charakteristischen Polynoms f¨uhrt dies auf die Jordansche Normalform eines Endomorphismus, ein wahrhaft faszinierendes Konzept, dessen Details sich oft nur erschließen, wenn man eine gewisse Anzahl Aufgaben l¨ost. 6 aufgelistet. 1 Beispiele und Definitionen 1. Zeigen Sie: Ein nilpotenter Endomorphismus hat Null als einzigen Eigenwert. 2. Gegeben sei die lineare Abbildung F : D(I; R) → D(I; R), φ → φ ′′ , wobei I ⊂ R ein Intervall ist. a) Bestimmen Sie die reellen Eigenwerte von F.

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Applied linear algebra by Riaz A Usmani


by Kevin
4.3

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