Arbeitsbuch zur Linearen Algebra: Aufgaben und Lösungen by Uwe Storch, Hartmut Wiebe PDF

By Uwe Storch, Hartmut Wiebe

ISBN-10: 3662455609

ISBN-13: 9783662455609

ISBN-10: 3662455617

ISBN-13: 9783662455616

Das Buch ist als Ergänzung zu und zum Gebrauch neben einer Vorlesung über Lineare Algebra gedacht. Es ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der Linearen Algebra bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbststudium – angeeignet hat.

Als foundation – auch für das Zitieren von Standardergebnissen – wird der zweite Band des Lehrbuchs der Mathematik von U. Storch und H. Wiebe zu Grunde gelegt, der ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist und dem ein Großteil der hier behandelten Aufgaben entnommen ist. Etliche der Aufgaben sind aber auch neu. Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen. Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemerkungen eingefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen.

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8. Ist p ein gemeinsamer Primteiler von Ord G und Ord H , so besitzen G und H zyklische Untergruppen A bzw. B der Ordnung p und jeder der p− 1 Isomorphismen ϕ : A → B definiert nach obiger Korrespondenz die nichttriviale Untergruppe Uϕ = (ϕ) = {(a, ϕ(a)) | a ∈ A}, die ebenfalls zyklisch von der Ordnung p ist. (3) Generell sind die nichttrivialen Untergruppen von G×H mit einer zyklischen Gruppe H von Primzahlordnung p die Gruppen (ψ) ⊆ A × H , wobei ψ : A → H ein beliebiger nichttrivialer Homomorphismus einer Untergruppe A ⊆ G auf H ist.

Ferner gilt Rang (gf ) = Rang (g|V ) = Dim V − Dim Kern (g|V ) ≤ Dim V = Rang f nach dem Rangsatz. Dies liefert die rechte Ungleichung. E, Aufg. 4) Seien f : U →V , g : V →W und h : W → X lineare Abbildungenn endlichdimensionaler Vektorräume. Dann gilt Rang (hg) + Rang (gf ) ≤ Rang g + Rang (hgf ). Lösung Wir wenden Aufgabe 26 auf die beiden Abbildungen g| Bild f : Bild f → Bild g und h| Bild g : Bild g → X an (in der Rolle der Abbildungen f : U → V bzw. g : V → W dort) . Die linke Seite der erhaltenen Ungleichung hat dann die Gestalt Rang (g| Bild f ) + Rang (h| Bild g) − Dim Bild g ≤ Rang (h| Bild g) ◦ (g| Bild f ) Wegen Rang (g| Bild f ) = Rang (gf ), Rang (h| Bild g) = Rang (hg), Dim Bild g = Rang g und Rang (h| Bild g) ◦ (g| Bild f ) = Dim Bild (hgf ) = Rang (hgf ) liefert das die zu beweisende Ungleichung.

Kern f )∗ = Insbesondere sind also Dim Kern f und Dim Kokern f genau dann endlich, wenn dies für Dim Kern f ∗ und Dim Kokern f ∗ der Fall ist, vgl. §5, Aufgabe 37. 4 erhält man Ind f ∗ = Dim Kern f ∗ − Dim Kokern f ∗ = Dim Kokern f − Dim Kern f = −Ind f. E, Aufg. 3) Sei p eine Primzahl. Jede Gruppe G der Ordnung p 2 ist abelsch, und zwar zyklisch oder isomorph zum Produkt zweier zyklischer Gruppen der Ordnung p. 6 besitzt G ein nichttriviales Zentrum. 4 von Lagrange die Gruppenordnung p2 , ist also gleich p2 oder gleich p.

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by Robert
4.1

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