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By Humphreys J.E.

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Il existe E, p, F vérifiant les conditions de la prop. 8. Puisque g c p, p(g) laisse F stable; soit p, la représentation u k - t p(u) 1 F de g dans F ; on a n = Ker p,. Tout élément semisimple (resp. nilpotent) de g((V) a pour image par p un élément semi-simple (resp. nilpotent) (prop. 2). L'algèbre p,(g) est donc engendrée par des éléments qui sont soit semi-simples, soit nilpotents. D'après l'hypothèse de récurrence, est scindable. Soient x E g, et x,, x, ses composantes semi-simple et nilpotente.

N on choisit une puissance q(i) de p telle que ad(e,)q") = O, et l'on pose zi = e:",' A = k[zl, . , zn], cf. exerc. 8. b) Soit p : g gl(V) une représentation linéaire d e g. O n suppose que p(e,) est nilpotent pour i = 1,. , n. Montrer que p(x) est nilpotent pour tout x E g. [Raisonner par récurrence sur n = dim g et se ramener a u cas où p est irréductible. ] c) Soient pl : g -> gl(Vl) et p,: g -z gi(V,) deux représentations linéaires de g. O n suppose que V1 et V2 sont #O, et que V1 = VA1(g),V2 = Vh2(g),où Al et A, sont deux fonctions sur g, cf.

Ad(exp x) = exp(ad (x)). Si P E k [ X ] et si cc E End(g), on vérifie facilement que, pour tout A E k, on a gA(a)c gP(A)(P(a)) . Par suite pour tout x E V'. Si k = R ou C, on a V = 9 et on peut choisir V' = V ce qui prouve (ii). Démontrons (i). Soit U un voisinage de O dans End(g) tel que, pour tout cc E U, Log(1 + cc) 2 = n>O 1 ( - l ) n +l - ccn soit défini. O n a Log exp 0 = 1 sur R un voisinage de O et, pour tout a E U, gl(l + a) c gO(Log(l+ cc)). Soit W le voisinage de O dans 4 formé par les x E V' tels que exp ad x E 1 i- U et Log(exp(ad(x))) = ad(x).

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by Mark
4.3

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