By Claude Chevalley, Pierre E. Cartier, P. Cartier, A. Grothendieck, M. Lazard
ISBN-10: 3540230319
ISBN-13: 9783540230311
ISBN-10: 3540263497
ISBN-13: 9783540263494
The 3rd quantity of the Collected Works of Claude Chevalley assembles his paintings on semi-simple algebraic teams contained, for the main half, within the notes of the well-known "S?minaire Chevalley" held on the Ecole Normale Sup?rieure in Paris among 1956 and 1958 and written up via contributors of the seminar specifically, P. Cartier, A. Grothendieck, R. Lazard and J. L. Verdier.
These texts were totally reset in TeX for this variation, and edited and annotated through Pierre Cartier. nearly 50 years after the unique writing, those texts nonetheless represent a call reference from which to go into and examine this a part of the idea of algebraic groups.
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Il existe un homomorphisme unique ϕ de6 k(E1 ) ⊗ k(E2 ) dans k(E1 × E2 ) tel que ϕ(f1 ⊗ f2 ) = f1 × f2 ; ϕ est injectif. De plus si Ui est un ouvert partout dense de Ei (i = 1, 2), ϕ d´efinit un isomorphisme de OE1 (U1 ) ⊗ OE2 (U2 ) sur OE1 ×E2 (U1 × U2 ). En particulier, ϕ d´efinit un isomorphisme de OE1 (E1 ) ⊗ OE2 (E2 ) sur OE1 ×E2 (E1 × E2 ). Il est clair que f1 × f2 d´epend bilin´eairement de f1 et f2 et qu’on a (f1 × u l’existence et l’unicit´e de ϕ. Supposons k(E1 ) f2 )(f1′ × f2′ ) = f1 f1′ × f2 f2′ , d’o` absolument semi-simple et soient fj,1 (1 ≤ j ≤ m) des fonctions rationnelles sur E1 , lin´eairement ind´ependantes sur k, donc aussi sur K (corollaire 3 du th´eor`eme 1).
Soient E un ensemble alg´ebrique et Ei ses composantes irr´eductibles. a) L’homomorphisme canonique de k(E) dans k(Ei ) d´efini par les resi trictions ρE,Ei est un isomorphisme ; l’alg` ebre k(Ei ) est un corps, extension de type fini de k. En particulier, k(E) est une alg`ebre semi-simple. b) Supposons E affine et soit F un ferm´e de E ; on note A l’alg`ebre des fonctions r´eguli`eres sur E, a l’id´eal de A form´e des fonctions nulles sur F , pi les id´eaux premiers minimaux de (0) et qj les id´eaux premiers minimaux de a, S = (∩ ∁pi ) ∩ (∩ ∁qj ).
D. Par un raisonnement analoque et mˆeme plus simple, on d´emontre la proposition suivante : Proposition 7 bis. – Soit E un ensemble alg´ebrique tel que k(E) soit une alg`ebre absolument semi-simple et soit k ′ un sous-corps de K contenant k. ′ L’homomorphisme ϕ de k ′ ⊗ k(E) dans k ′ (E k ) qui applique λ ⊗ f sur λf est injectif. De plus, si U est un ouvert partout dense de E, ϕ d´efinit un k′ isomorphisme de k ′ ⊗ OE (U ) sur OE (U ). 3. 1 D´ efinition d’un groupe alg´ ebrique Lorsqu’on sait d´efinir une cat´egorie de vari´et´es, les produits de vari´et´es et les morphismes (applications r´eguli`eres), on en d´eduit par un proc´ed´e standard une cat´egorie de groupes.
Classification des groupes algebriques semi-simples: the classification semi-simple algebraic groups by Claude Chevalley, Pierre E. Cartier, P. Cartier, A. Grothendieck, M. Lazard
by Christopher
4.0