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By Victor Guillemin, Shlomo Sternberg

ISBN-10: 0821812645

ISBN-13: 9780821812648

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Premières propriétés Remarquons d’abord que, si A est une algèbre, la seule opération que l’on puisse faire en toute généralité sur ses représentations est celle de somme directe. Par contre, si A est une algèbre de Hopf, on peut définir les produits tensoriels et les représentations contragrédientes de la façon suivante : 0 si ( V , T )et (W,p)sont deux représentations, on définit la représentation produit tensoriel 7r 8 p dans V 8 W par (T 8 p ) ( a ) = p ( u : ) (8T ( U l ’ ) , i II. Algèbres de Hopf 20 en bref 7r @ p = (7r x p) O A; O si (V,7r) est une représentation, on définit la représentation contragrédiente 7rc dans V* par 7rC(a)= t7r(S(a)>.

1. 4motive la définition suivante, due à S. L. ,N de C soumis aux conditions suivantes a) la comultiplication A est continue lorsque l’on munit C 8 C de la norme + sup \\T(<)\\ où 7r d’écrit l’ensemble des *-représentations de C 8 C dont les restrictions à C 8 1 et 118 C sont continues (voir à ce sujet [41], ch. IV, $ 4 ) b) les ui,j engendrent l’*-algèbre C fj4. Groupes quantiques compacts 37 Le but principal du présent paragraphe est de construire des groupes quantiques compacts comme sous-algèbres des duaux restreints de certaines *-algèbres de Hopf.

Algèbres de Hopf 34 Théorème (i) L’application u -+ u* = O(S(u))est une involution de l’algèbre de Hopf U ( i ) . 3 est la borne supérieure des C*-semi-normes. Démonstration (i) Vérification immédiate. (ii) Première assertion : elle résulte de ce que, pour a E R h o l ( G ) , on a = ( u ~ G ) * Seconde . assertion : on doit montrer que ( u , = (O(u),u ) ou encore que ( u ,a O O) = (O(u), a ) , ce qui est immédiat. 2) de la forme f + f(g) pour un certain g E G ; par conséquent N ( f ) = N ( A ( f ) )= l f ( g ) I .

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by Jeff
4.2

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