By Dr. Willi Rinow (auth.)
ISBN-10: 3662114992
ISBN-13: 9783662114995
ISBN-10: 366211500X
ISBN-13: 9783662115008
Die innere Geometrie einer Fläche ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungeändert bleiben, additionally nur von ihrer ersten Fundamentalform abhängen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begründet, daß das Produkt der Hauptkrümmungsradien einer Fläche eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. Während guy zunächst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all gemeinen Bogenelementes, eine Möglichkeit, die bereits B. RIEMANN erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD über Flächen konstanter negativer Krümmung und von D. HILBERT über die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, daß ein großer Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Großen entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be nötigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes ermöglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunächst stand jedoch die Topologie der metrischen Räume im Vordergrund des Interesses. Erst mit okay. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei Büchern von A. D. ALEXANDROW[6J, L. M. BLuMENTHAL [1J und H.
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Die Modellversuche bei der geplanten Lage der Mole führten zu folgenden Ergebnissen: 1. Es ist notwendig, die Höhe der Oberkante der Mole auf + 7,10 m über Seekartennull fest zulegen, um ein Überschlagen von four m hohen Wellen aus Südsüdwest zu verhindern. 2. Bei Wind und See aus Südsüdwest battle im Modell bis zu einer Wellenhöhe von four m an der dem Lande zugekehrten Seite der Mole und in dem Raume zwischen der Mole und der lO-m Tiefenlinie eine gute, als durchaus ausreichend zu bezeichnende Dämpfung der Wellen festzu stellen.
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B ist dann und nur dann in (A, e) offen, wenn B gleich dem Durchschnitt von A mit einer in (R, e) offenen Menge ist. Folgerung: Ist A in R offen, so ist jede in (A, e) offene Menge auch in R offen. Beweis: Bezeichnet UA(x, s) bzw. U(x, s) (x EA) eine sphärische Umgebung in (A, e) bzw. (R, e), so gilt nach Definition U A (x, s) = A n U(x, s). Ist daher B = A nG, wobei G in (R, e) offen ist, so ist auch B in (A, e) offen. Es sei umgekehrt B in (A, e) offen, d. h. zu jedem x EB existiere ein s > 0 mit UA(X, s) c B.
Ist daher R vollständig, so ist auch R. vollständig. Umgekehrt seien alle R. vollständig und x(p) = (xi"), xr), ... ) eine Cauchysche Folge. Wegen e. E R •. Nach 8. konvergiert dann (x(p») gegen den Punkt x = (Xl' x 2 , • •• ). 16. ) ('JI = 1,2, ... ) sei eine Folge nichtleerer beschränkter und abgeschlossener Teilmengen. ) --+ O. Dann 00 n F. aus genau einem Punkt. • =1 besteht der Durchschnitt Beweis: R sei vollständig. Wir entnehmen aus F. einen Punkt x •. Ist e > 0 beliebig vorgegeben, so existiert ein n.
A)1 ~ ~ e (x, xv), Wegen e (x, xv) """* 0 ist damit auch 7. bewiesen. Konvergenz in Produkträumen. 8. R = R I X R 2 X . sei ein endliches oder unendliches metrisches Produkt und x(v) = (xr), x~), ... ) (v = 1,2, ... ) eine Folge von Punkten aus R. (x(v» konvergiert dann und nur dann gegen den Punkt x= (xl> x 2 , •• •), wenn die Folge (x}:» (v = 1,2, ... ) für jedes f-l gegen xI' konvergiert. Beweis: Die Bedingung ist notwendig, denn es ist ep (xl" x}:») ~ VÄ~1 e). , XY-»2 = e (x, x(v») . Die Bedingung ist auch hinreichend.
Die innere Geometrie der metrischen Räume by Dr. Willi Rinow (auth.)
by David
4.1